抽象函数
在分析中，抽象函数是指一类定义域为实数子集
I
{\displaystyle I}
且值域为赋范线性空间的一类映射，它是赋范线性空间中“道路”（path）概念的体现，是一元向量值函数。
为了从测度论和泛函分析的角度探讨抽象函数的性质，我们需要对定义域空间
I
{\displaystyle I}
（通常是区间）赋予测度，这里我们通常选择的是 Lebesgue 测度或其它 σ 有限的完全测度
μ
{\displaystyle \mu}
。
下面的讨论可以将定义域所在的线性空间推广到一般的数域
K
{\displaystyle \mathbb{K}}
，只要在定义域上定义出一种 σ 可加的完全测度
μ
{\displaystyle \mu}
即可。相关内容部分讨论可参见算子值函数、Pettis 积分以及Bochner 积分等。
目录
1 可测性
2 可积性
2.1 Lp 空间
2.2 Sobolev 空间
3 紧性引理
4 参考资料
可测性[]
对于抽象函数
x
:
I
→
X
{\displaystyle x:I\to X}
，如果存在一列可数值函数
{
x
k
}
{\displaystyle \{ x_k \}}
使得
{
x
k
}
{\displaystyle \{ x_k \}}
几乎处处收敛于
x
{\displaystyle x}
，我们就称
x
{\displaystyle x}
是（强）可测函数，这等价于存在一个具有紧支集的函数序列
{
x
k
}
⊂
C
c
(
I
,
X
)
{\displaystyle \{x_{k}\}\subset C_{c}(I,X)}
使得它几乎处处收敛到
x
{\displaystyle x}
。此外，Pettis 定理指出了：抽象函数强可测当且仅当它是弱可测且几乎可分值。
我们接下来考察连续性蕴含可测性，自然希望得到弱拓扑下的连续性蕴含可测性，由于定义域上的强弱拓扑等价，我们希望得到值域上弱拓扑下连续的函数也是可测的：
如果抽象函数
x
:
I
→
X
{\displaystyle x:I\to X}
将
I
{\displaystyle I}
中任意强收敛序列映为
X
{\displaystyle X}
中的弱收敛序列，那么
x
{\displaystyle x}
强可测。关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠
为了应用 Pettis 定理，我们需要说明：
x
{\displaystyle x}
弱可测：实际上对任意的
x
∗
∈
X
∗
{\displaystyle x^{*}\in X^{*}}
，
t
↦
⟨
x
∗
,
x
(
t
)
⟩
{\displaystyle t\mapsto \langle x^{*},x(t)\rangle }
都是连续函数，自然可测。
x
{\displaystyle x}
几乎可分值：实际上我们可以证明
x
(
I
)
{\displaystyle x(I)}
可分，假设
A
{\displaystyle A}
是
x
(
I
∩
Q
)
{\displaystyle x(I\cap \mathbb {Q} )}
的凸包，
A
¯
{\displaystyle \overline{A}}
记为
A
{\displaystyle A}
的强闭包（由 Mazur 定理，这同时也是弱闭包），首先我们断言
x
(
I
)
⊂
A
¯
{\displaystyle x(I)\subset {\overline {A}}}
，实际上对任意的
x
(
t
)
∈
x
(
I
)
{\displaystyle x(t)\in x(I)}
都存在
t
n
∈
I
∩
Q
{\displaystyle t_{n}\in I\cap \mathbb {Q} }
使得
t
n
→
t
{\displaystyle t_{n}\to t}
且
x
(
t
n
)
{\displaystyle x(t_n) }
在
X
{\displaystyle X}
中弱收敛到
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
，于是
x
(
t
)
∈
A
¯
{\displaystyle x(t)\in {\overline {A}}}
。其次我们断言
A
¯
{\displaystyle \overline{A}}
可分。实际上
A
{\displaystyle A}
可分，因为
x
(
I
∩
Q
)
{\displaystyle x(I\cap \mathbb {Q} )}
是
A
{\displaystyle A}
的可数稠密子集。
强可测抽象函数序列
{
x
n
:
I
→
X
}
{\displaystyle \{x_{n}:I\to X\}}
的几乎处处弱极限也是强可测的。关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠
和上一个定理证明类似。
x
{\displaystyle x}
弱可测：实际上对任意的
x
∗
∈
X
∗
{\displaystyle x^{*}\in X^{*}}
，
t
↦
⟨
x
∗
,
x
n
(
t
)
⟩
{\displaystyle t\mapsto \langle x^{*},x_{n}(t)\rangle }
都可测且
⟨
x
∗
,
x
n
(
t
)
⟩
→
⟨
x
∗
,
x
(
t
)
⟩
{\displaystyle \langle x^{*},x_{n}(t)\rangle \to \langle x^{*},x(t)\rangle }
几乎处处成立，因此
⟨
x
∗
,
x
(
t
)
⟩
{\displaystyle \langle x^{*},x(t)\rangle }
可测。
x
{\displaystyle x}
几乎可分值：令
E
n
⊂
I
{\displaystyle E_{n}\subset I}
是零测集且满足
x
n
(
I
∖
E
n
)
{\displaystyle x_{n}(I\setminus E_{n})}
可分，令
E
=
⋃
n
⩾
1
E
n
{\displaystyle E=\bigcup _{n\geqslant 1}E_{n}}
，那么
E
{\displaystyle E}
也是零测集，令
A
{\displaystyle A}
是集合
⋃
n
⩾
1
x
n
(
I
∖
E
)
{\displaystyle \bigcup _{n\geqslant 1}x_{n}(I\setminus E)}
的凸包，
A
¯
{\displaystyle \overline{A}}
是
A
{\displaystyle A}
的强闭包，那么
x
(
I
∖
E
)
⊂
A
¯
{\displaystyle x(I\setminus E)\subset {\overline {A}}}
且
A
¯
{\displaystyle \overline{A}}
是可分的。
可积性[]
定义一个强可测抽象函数的可积性以及（Bochner）积分，可以从简单函数逼近的角度（参见 Bochner 积分），也可以从连续函数逼近的角度，后者需要定义抽象连续函数的 Riemann 积分，我们就从这个角度给出可积性的定义。下面我们均假设
μ
{\displaystyle \mu}
是 Lebesgue 测度。
假设抽象函数
x
:
I
→
X
{\displaystyle x:I\to X}
强可测，如果存在一列
{
x
n
}
⊂
C
c
(
I
,
X
)
{\displaystyle \{x_{n}\}\subset C_{c}(I,X)}
满足
lim
n
→
∞
∫
I
‖
x
n
(
t
)
−
x
(
t
)
‖
d
μ
(
t
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{I}\|x_{n}(t)-x(t)\|\mathrm {d} \mu (t)=0.}
那么由
X
{\displaystyle X}
的完备性得到
∫
I
x
n
(
t
)
d
μ
(
t
)
{\displaystyle \int _{I}x_{n}(t)\mathrm {d} \mu (t)}
的极限存在，我们记作
∫
I
x
(
t
)
d
μ
(
t
)
{\displaystyle \int _{I}x(t)\mathrm {d} \mu (t)}
，这称为
x
{\displaystyle x}
在
I
{\displaystyle I}
上的 Bochner 积分，此时我们称
x
{\displaystyle x}
在
I
{\displaystyle I}
上 Bochner 可积。
对上述定义的 Bochner 积分的更多性质参见 Bochner 积分。
Lp 空间[]
对任意强可测抽象函数
x
:
I
→
X
{\displaystyle x:I\to X}
，定义
L
p
{\displaystyle L^p}
范数
‖
x
‖
p
=
{
(
∫
I
‖
x
(
t
)
‖
p
d
μ
(
t
)
)
1
p
,
1
⩽
p
<
+
∞
,
inf
μ
(
E
)
=
0
E
⊂
I
sup
x
∈
I
∖
E
‖
x
(
t
)
‖
,
p
=
+
∞
.
{\displaystyle \|x\|_{p}={\begin{cases}\displaystyle {\left(\int _{I}\|x(t)\|^{p}\mathrm {d} \mu (t)\right)^{\frac {1}{p}}},&1\leqslant p<+\infty ,\\\displaystyle {\inf _{\overset {E\subset I}{\underset {\mu (E)=0}{}}}\sup _{x\in I\setminus E}\|x(t)\|},&p=+\infty .\end{cases}}}
对每个固定的
p
∈
[
1
,
∞
]
{\displaystyle p\in [1,\infty ]}
我们把所有
L
p
{\displaystyle L^p}
范数有限的
x
{\displaystyle x}
收集起来，构成一个空间，记作
L
p
(
I
,
X
)
{\displaystyle L^{p}(I,X)}
，他是一个 Banach 空间，且当
p
<
+
∞
{\displaystyle p < +\infty}
的时候
C
c
(
I
,
X
)
{\displaystyle C_{c}(I,X)}
在
L
p
(
I
,
X
)
{\displaystyle L^{p}(I,X)}
中稠密，这些证明和实值函数的相关结论证明相仿，参见 Lp 空间。
这种空间的
t
∈
I
{\displaystyle t\in I}
在很多偏微分方程中通常作为时间变量存在，而
X
{\displaystyle X}
这个时候则是一些涉及导数的积分空间，如 Lp 空间，Sobolev 空间及其衍生空间，其中的函数通常定义在
R
N
{\displaystyle \R^N}
的某个子集上，因此涉及到空间变量，于是这样的完备空间
L
p
(
I
,
X
)
{\displaystyle L^{p}(I,X)}
也被称为是时空 Banach 空间，这个空间并不是单纯地作为
I
×
R
N
{\displaystyle I\times \mathbb {R} ^{N}}
型空间
L
p
(
I
×
R
N
)
{\displaystyle L^{p}(I\times \mathbb {R} ^{N})}
存在，因为两个变量的可积性不同，这种空间反应的可积性常称为方程的时空可积性特征。
共轭空间
由 Hölder 不等式，如果
x
∈
L
p
(
I
,
X
)
,
x
∗
∈
L
p
′
(
I
,
X
∗
)
{\displaystyle x\in L^{p}(I,X),x^{*}\in L^{p'}(I,X^{*})}
，那么
∫
I
|
⟨
x
∗
(
t
)
,
x
(
t
)
⟩
X
∗
,
X
|
d
μ
(
t
)
⩽
‖
x
∗
‖
p
′
‖
x
‖
p
.
{\displaystyle \int _{I}|\langle x^{*}(t),x(t)\rangle _{X^{*},X}|\mathrm {d} \mu (t)\leqslant \|x^{*}\|_{p^{'}}\|x\|_{p}.}
于是
t
↦
⟨
x
∗
(
t
)
,
x
(
t
)
⟩
X
∗
,
X
{\displaystyle t\mapsto \langle x^{*}(t),x(t)\rangle _{X^{*},X}}
可积，更一般地我们有如下关于共轭空间同构的结果：
假设
1
⩽
p
<
+
∞
{\displaystyle 1 \leqslant p < +\infty}
，
X
{\displaystyle X}
自反或
X
∗
{\displaystyle X^*}
可分（实际上，只需要满足 Radon-Nikodym 性质），那么
(
L
p
(
I
,
X
)
)
∗
≅
L
p
′
(
I
,
X
∗
)
{\displaystyle (L^{p}(I,X))^{*}\cong L^{p'}(I,X^{*})}
。关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠
证明参见[Die77]Diestel J., Uhl J.J., Vector Measures, Mathematical surveys and monographs, American Mathematical Society, 1977, ISBN 978-0-8218-1515-1.，共轭作用是
⟨
x
∗
,
x
⟩
L
p
′
(
I
,
X
∗
)
,
L
p
(
I
,
X
)
=
∫
I
⟨
x
∗
(
t
)
,
x
(
t
)
⟩
X
∗
,
X
d
μ
(
t
)
.
{\displaystyle \langle x^{*},x\rangle _{L^{p'}(I,X^{*}),L^{p}(I,X)}=\int _{I}\langle x^{*}(t),x(t)\rangle _{X^{*},X}\mathrm {d} \mu (t).}
如果我们有连续线性算子
V
(
t
)
:
H
→
L
p
(
I
,
X
)
{\displaystyle V(t):H\to L^{p}(I,X)}
，其中
H
{\displaystyle H}
是 Hilbert 空间，
X
{\displaystyle X}
是具有 Radon-Nikodym 性质的 Banach 空间，
1
⩽
p
<
+
∞
{\displaystyle 1 \leqslant p < +\infty}
，
I
{\displaystyle I}
是
R
{\displaystyle \R}
中的非零区间，定义
T
V
:
H
↦
L
p
(
I
,
X
)
,
h
↦
V
(
t
)
h
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{V}:H&\mapsto L^{p}(I,X),\\h&\mapsto V(t)h.\end{aligned}}}
那么
T
V
∗
{\displaystyle T_{V}^{*}}
具有表达式
T
V
∗
(
u
)
=
∫
I
V
(
t
)
∗
u
(
t
)
d
t
,
∀
u
∈
L
p
′
(
I
,
X
∗
)
.
{\displaystyle T_{V}^{*}(u)=\int _{I}V(t)^{*}u(t)\mathrm {d} t,\quad \forall u\in L^{p'}(I,X^{*}).}
关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠
实际上，任取
u
∈
L
p
′
(
I
,
X
∗
)
,
h
∈
H
{\displaystyle u\in L^{p'}(I,X^{*}),h\in H}
，
⟨
T
V
∗
u
,
h
⟩
H
,
H
=
⟨
u
,
T
V
h
⟩
L
p
′
(
I
,
X
∗
)
,
L
p
(
I
,
X
)
=
∫
I
⟨
u
(
t
)
,
(
T
v
h
)
(
t
)
⟩
X
∗
,
X
d
μ
(
t
)
=
∫
I
⟨
u
(
t
)
,
V
(
t
)
h
⟩
X
∗
,
X
d
μ
(
t
)
=
∫
I
⟨
V
(
t
)
∗
u
(
t
)
,
h
⟩
H
,
H
d
μ
(
t
)
=
⟨
∫
I
V
(
t
)
∗
u
(
t
)
d
μ
(
t
)
,
h
⟩
H
,
H
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle T_{V}^{*}u,h\rangle _{H,H}&=\langle u,T_{V}h\rangle _{L^{p'}(I,X^{*}),L^{p}(I,X)}\\&=\int _{I}\langle u(t),(T_{v}h)(t)\rangle _{X^{*},X}\mathrm {d} \mu (t)\\&=\int _{I}\langle u(t),V(t)h\rangle _{X^{*},X}\mathrm {d} \mu (t)\\&=\int _{I}\langle V(t)^{*}u(t),h\rangle _{H,H}\mathrm {d} \mu (t)\\&=\left\langle \int _{I}V(t)^{*}u(t)\mathrm {d} \mu (t),h\right\rangle _{H,H}.\end{aligned}}}
连续线性算子
假设
A
:
X
→
Y
{\displaystyle A: X \to Y}
是 Banach 空间之间的连续线性算子，且
x
∈
L
p
(
I
,
X
)
{\displaystyle x\in L^{p}(I,X)}
，那么
A
x
∈
L
p
(
I
,
Y
)
{\displaystyle Ax\in L^{p}(I,Y)}
，同时
‖
A
x
‖
p
⩽
‖
A
‖
‖
x
‖
p
.
{\displaystyle \|Ax\|_{p}\leqslant \|A\|\|x\|_{p}.}
进一步，如果
p
=
1
{\displaystyle p = 1}
，那么
A
(
∫
I
x
(
t
)
d
μ
(
t
)
)
=
∫
I
A
x
(
t
)
d
μ
(
t
)
.
{\displaystyle A\left(\int _{I}x(t)\mathrm {d} \mu (t)\right)=\int _{I}Ax(t)\mathrm {d} \mu (t).}
Fatou 引理
由于
L
p
(
I
,
X
)
{\displaystyle L^{p}(I,X)}
是 Banach 空间，自然我们期望范数有弱下半连续性：
假设
{
f
n
}
⊂
L
p
(
I
,
X
)
{\displaystyle \{f_{n}\}\subset L^{p}(I,X)}
，如果存在抽象函数
f
:
I
→
X
{\displaystyle f:I\to X}
使得对几乎处处的
t
∈
I
{\displaystyle t\in I}
成立：
f
(
t
)
{\displaystyle f(t) }
在
X
{\displaystyle X}
中弱收敛到
f
(
t
)
{\displaystyle f(t) }
，那么
‖
f
‖
p
⩽
lim inf
n
→
∞
‖
f
n
‖
p
.
{\displaystyle \|f\|_{p}\leqslant \liminf _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{p}.}
关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠
由这个推论可得
f
(
t
)
:
I
→
X
{\displaystyle f(t):I\to X}
强可测，令
g
n
(
t
)
=
inf
k
⩾
n
‖
f
k
(
t
)
‖
,
g
(
t
)
=
lim
n
→
∞
g
n
(
t
)
,
a.e.
t
∈
I
.
{\displaystyle g_{n}(t)=\inf _{k\geqslant n}\|f_{k}(t)\|,\quad g(t)=\lim _{n\to \infty }g_{n}(t),\quad {\text{a.e. }}t\in I.}
由于对几乎处处的
t
∈
I
{\displaystyle t\in I}
成立
g
n
(
t
)
⩽
‖
f
n
(
t
)
‖
{\displaystyle g_{n}(t)\leqslant \|f_{n}(t)\|}
结合单调收敛定理得到
g
∈
L
p
(
I
)
{\displaystyle g\in L^{p}(I)}
以及
‖
f
‖
L
p
(
I
,
X
)
=
‖
g
‖
L
p
(
I
)
⩽
lim
n
→
∞
‖
g
n
‖
L
p
(
I
)
⩽
lim inf
n
→
∞
‖
f
n
‖
L
p
(
I
,
X
)
.
{\displaystyle \|f\|_{L^{p}(I,X)}=\|g\|_{L^{p}(I)}\leqslant \lim _{n\to \infty }\|g_{n}\|_{L^{p}(I)}\leqslant \liminf _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{L^{p}(I,X)}.}
最后一个不等号是
X
{\displaystyle X}
中的范数的弱下半连续性。
Sobolev 空间[]
在一些偏微分方程的研究中，特别是对含有时间的演化方程，例如热方程、波方程以及 Schrödinger 方程（色散波方程的代表），常常需要研究抽象函数的弱导数以及相应的涉及到导数的积分空间，例如 Sobolev 空间。
紧性引理[]
设
X
↪
Y
{\displaystyle X\hookrightarrow Y}
为两个 Banach 空间，
I
{\displaystyle I}
为
R
{\displaystyle \R}
的一个有界开区间。设
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
为
C
(
I
,
Y
)
{\displaystyle C(I,Y)}
中的一个有界序列。假设对任意的
(
n
,
t
)
∈
N
×
I
{\displaystyle (n,t)\in \mathbb {N} \times I}
，
f
n
(
t
)
∈
X
{\displaystyle f_{n}(t)\in X}
，并且
sup
(
n
,
t
)
∈
N
×
I
‖
f
n
(
t
)
‖
X
=
K
<
∞
.
{\displaystyle \sup _{(n,t)\in \mathbb {N} \times I}\|f_{n}(t)\|_{X}=K<\infty .}
进一步假设
f
n
{\displaystyle f_n}
在
Y
{\displaystyle Y}
中一致等度连续（即，对任意的
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon > 0}
，存在
δ
>
0
{\displaystyle \delta > 0}
，使得对任意的
n
,
s
,
t
∈
N
×
I
×
I
{\displaystyle n,s,t\in \mathbb {N} \times I\times I}
，如果
|
t
−
s
|
⩽
δ
{\displaystyle |t-s|\leqslant \delta }
，则
‖
f
n
(
t
)
−
f
n
(
s
)
‖
Y
⩽
ε
{\displaystyle \|f_{n}(t)-f_{n}(s)\|_{Y}\leqslant \varepsilon }
）。如果
X
{\displaystyle X}
是自反的，那么以下性质成立：
存在一个函数
f
∈
C
(
I
,
Y
)
{\displaystyle f\in C(I,Y)}
，它在
I
¯
→
X
{\displaystyle {\overline {I}}\to X}
上是弱连续的，并且存在一个子序列
(
f
n
k
)
{\displaystyle (f_{n_{k}})}
，使得对任意的
t
∈
I
¯
{\displaystyle t\in {\overline {I}}}
，
f
n
k
(
t
)
{\displaystyle f_{n_{k}}(t)}
在
X
{\displaystyle X}
中收敛到
f
(
t
)
{\displaystyle f(t) }
。
如果存在一个一致凸的 Banach 空间
B
{\displaystyle B}
，使得
X
↪
B
↪
Y
{\displaystyle X\hookrightarrow B\hookrightarrow Y}
，并且
(
f
n
)
n
∈
N
⊂
C
(
I
,
B
)
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset C(I,B)}
且当
k
→
∞
{\displaystyle k \rightarrow \infty}
时在
I
{\displaystyle I}
上一致成立
‖
f
n
k
(
t
)
‖
B
→
‖
f
(
t
)
‖
B
{\displaystyle \|f_{n_{k}}(t)\|_{B}\to \|f(t)\|_{B}}
，则
f
∈
C
(
I
,
B
)
{\displaystyle f\in C(I,B)}
且
f
n
k
{\displaystyle f_{n_k}}
在
C
(
I
,
B
)
{\displaystyle C(I,B)}
中收敛到
f
{\displaystyle f}
。
关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠
设
(
t
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
为
Q
∩
I
{\displaystyle \mathbb {Q} \cap I}
的一个排序。利用
X
{\displaystyle X}
的自反性和对角线论证，我们容易看出存在一个子序列
(
f
n
k
)
{\displaystyle (f_{n_{k}})}
和一个函数
f
:
Q
∩
I
→
X
{\displaystyle f:\mathbb {Q} \cap I\to X}
，使得对任意的
j
∈
N
{\displaystyle j \in \N}
，
f
n
k
(
t
j
)
{\displaystyle f_{n_{k}}(t_{j})}
在
X
{\displaystyle X}
中弱收敛到
f
(
t
j
)
{\displaystyle f(t_{j})}
（因此在
Y
{\displaystyle Y}
中亦弱收敛）。由
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
的一致等度连续性和范数的弱下半连续性，
f
{\displaystyle f}
可以连续延拓到
C
(
I
,
Y
)
{\displaystyle C(I,Y)}
上去。此外，
f
:
I
¯
→
X
{\displaystyle f:{\overline {I}}\to X}
是弱连续的，并且
sup
t
∈
I
{
‖
f
(
t
)
‖
X
}
⩽
K
.
{\displaystyle \sup _{t\in I}\{\|f(t)\|_{X}\}\leqslant K.}
现在考虑
t
∈
I
¯
{\displaystyle t\in {\overline {I}}}
，设
(
t
j
)
j
∈
N
⊂
Q
∩
I
{\displaystyle (t_{j})_{j\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {Q} \cap I}
收敛于
t
{\displaystyle t}
，且设
y
′
∈
Y
∗
{\displaystyle y'\in Y^{*}}
，我们有
|
⟨
y
′
,
f
n
k
(
t
)
−
f
(
t
)
⟩
Y
∗
,
Y
|
⩽
|
⟨
y
′
,
f
n
k
(
t
)
−
f
n
k
(
t
j
)
⟩
Y
∗
,
Y
|
+
|
⟨
y
′
,
f
(
t
)
−
f
(
t
j
)
⟩
Y
∗
,
Y
|
+
|
⟨
y
′
,
f
n
k
(
t
j
)
−
f
(
t
j
)
⟩
Y
∗
,
Y
|
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\quad ~|\langle y',f_{n_{k}}(t)-f(t)\rangle _{Y^{*},Y}|\\&\leqslant |\langle y',f_{n_{k}}(t)-f_{n_{k}}(t_{j})\rangle _{Y^{*},Y}|\\&+|\langle y',f(t)-f(t_{j})\rangle _{Y^{*},Y}|\\&+|\langle y',f_{n_{k}}(t_{j})-f(t_{j})\rangle _{Y^{*},Y}|.\end{aligned}}}
给定
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon > 0}
，由一致等度连续性可知，对于充分大的
j
{\displaystyle j}
，右边的第一项和第二项小于
ε
/
3
{\displaystyle \varepsilon /3}
。对于这样的
j
{\displaystyle j}
，第三项对于充分大的
k
{\displaystyle k}
也小于
ε
/
3
{\displaystyle \varepsilon /3}
；因此
|
⟨
x
′
,
f
n
k
(
t
)
−
f
(
t
)
⟩
Y
∗
,
Y
|
→
0
,
∀
x
′
∈
X
∗
(
k
→
∞
)
.
{\displaystyle |\langle x',f_{n_{k}}(t)-f(t)\rangle _{Y^{*},Y}|\to 0,\quad \forall x'\in X^{*}\quad (k\to \infty ).}
于是
f
n
k
(
t
)
{\displaystyle f_{n_{k}}(t)}
在
Y
{\displaystyle Y}
中弱收敛到
f
(
t
)
{\displaystyle f(t) }
，进而在
X
{\displaystyle X}
中亦弱收敛，因此(1)得证。
首先注意
f
:
I
¯
→
B
{\displaystyle f:{\overline {I}}\to B}
是弱连续的。此外，
‖
f
‖
B
:
I
¯
→
R
{\displaystyle \|f\|_{B}:{\overline {I}}\to \mathbb {R} }
是连续的；因此
f
∈
C
(
I
¯
,
B
)
{\displaystyle f\in C({\overline {I}},B)}
。剩下证明
f
n
k
{\displaystyle f_{n_k}}
在
C
(
I
¯
,
B
)
{\displaystyle C({\overline {I}},B)}
中强收敛到
f
{\displaystyle f}
。反证法，假设存在一个序列
(
t
k
)
k
∈
N
⊂
I
¯
{\displaystyle (t_{k})_{k\in \mathbb {N} }\subset {\overline {I}}}
和
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon > 0}
，使得对任意的
k
∈
N
{\displaystyle k\in\mathbb{N}}
，
‖
f
n
k
(
t
k
)
−
f
(
t
k
)
‖
B
⩾
ε
.
{\displaystyle \|f_{n_{k}}(t_{k})-f(t_{k})\|_{B}\geqslant \varepsilon .}
我们可以假设当
k
→
∞
{\displaystyle k \rightarrow \infty}
时
t
k
→
t
∈
I
¯
{\displaystyle t_{k}\to t\in {\overline {I}}}
。由(1)和一致连续性可知，
f
n
k
(
t
k
)
{\displaystyle f_{n_{k}}(t_{k})}
在
Y
{\displaystyle Y}
中弱收敛到
f
(
t
)
{\displaystyle f(t) }
。由于
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
在
C
(
I
¯
,
B
)
{\displaystyle C({\overline {I}},B)}
中有界，我们同样得到
f
n
k
(
t
k
)
{\displaystyle f_{n_{k}}(t_{k})}
在
B
{\displaystyle B}
中弱收敛到
f
(
t
)
{\displaystyle f(t) }
。此外，
|
‖
f
n
k
(
t
k
)
‖
B
−
‖
f
(
t
)
‖
B
|
⩽
|
‖
f
n
k
(
t
k
)
‖
B
−
‖
f
(
t
k
)
‖
B
|
+
|
‖
f
(
t
k
)
‖
B
−
‖
f
(
t
)
‖
B
|
.
{\displaystyle {\big |}\|f_{n_{k}}(t_{k})\|_{B}-\|f(t)\|_{B}{\big |}\leqslant {\big |}\|f_{n_{k}}(t_{k})\|_{B}-\|f(t_{k})\|_{B}{\big |}+{\big |}\|f(t_{k})\|_{B}-\|f(t)\|_{B}{\big |}.}
因此，
‖
f
n
k
(
t
k
)
‖
B
{\displaystyle \|f_{n_{k}}(t_{k})\|_{B}}
强收敛到
‖
f
(
t
)
‖
B
{\displaystyle \|f(t)\|_{B}}
，因此
f
n
k
(
t
k
)
{\displaystyle f_{n_{k}}(t_{k})}
在
B
{\displaystyle B}
中强收敛到
f
(
t
)
{\displaystyle f(t) }
，这与假设矛盾。
参考资料Cazenave Thierry, Haraux Alain, Martel Yvan, An Introduction to Semilinear Evolution Equations, Oxford University Press, 1998-10, ISBN 978-0-1985-0277-7.
非线性泛函分析（学科代码：1105755，GB/T 13745—2009）
非线性算子
非线性映射 ▪ Gateaux 导数 ▪ Frechet 导数 ▪ 高阶导数和 Taylor 公式 ▪ 隐函数定理 ▪ 反函数定理 ▪ 抽象函数（常微分方程、Gronwall 引理）
度理论和不动点定理
Brouwer 度 ▪ Leray-Schauder 度 ▪ 不动点 ▪ Banach 不动点定理 ▪ Brouwer 不动点定理 ▪ Schauder 不动点定理 ▪ Leray-Schauder 条件 ▪ Altman 不动点定理 ▪ Borsuk-Ulam 定理
半序 Banach 空间
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算子半群
算子半群 ▪ 无穷小生成元 ▪ 耗散算子（Hilbert 空间中的耗散算子、外推定理） ▪ 耗散算子半群 ▪ 压缩半群 ▪ Hille-Yosida-Phillips 定理 ▪ Duhamel 原理（半线性情形）
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